OpenAI affirme qu'un modèle non publié a réfuté une hypothèse mathématique en vigueur depuis les années 90.

OpenAI affirme que l’un de ses modèles d’intelligence artificielle, encore non publié, a réussi à réfuter l’**hypothèse du temps exponentiel**, une conjecture des années 1990 qui sous-tendait des centaines d’articles en informatique théorique, allant de la théorie des graphes à la biologie computationnelle.

L’entreprise attribue à ce même système deux autres découvertes mathématiques : la démonstration d’une conjecture sur les ondes ouverte depuis 1991 et la preuve que la théorie de Yang-Mills, l’un des piliers de la physique des particules, existe au sens mathématique.

OpenAI présente ces trois résultats comme des « données de recherche brutes » et a demandé à des spécialistes externes de former des groupes indépendants pour les vérifier.

Chacun de ces trois résultats, s’il est confirmé, suffirait à soutenir une carrière académique complète et à prétendre à plusieurs prix internationaux.

Celui concernant l’hypothèse du temps exponentiel, en particulier, **se rapproche d’un des Problèmes du Millénaire**, les sept défis mathématiques dotés d’un million de dollars chacun, dont un seul a été résolu jusqu’à présent.

Que dit l’hypothèse du temps exponentiel et pourquoi sa réfutation est-elle pertinente

L’hypothèse du temps exponentiel est liée au problème P contre NP, formulé de manière indépendante par Stephen Cook et Leonid Levin en 1971.

Cette question cherche à déterminer si tout problème dont la solution peut être vérifiée rapidement peut également être résolu avec la même rapidité. L’hypothèse va plus loin : non seulement elle suppose que la réponse est négative, mais elle soutient que le coût de résolution des cas les plus difficiles croît de façon exponentielle.

Le problème concret sur lequel elle s’appuie est simple à énoncer. Étant donnée une formule logique dont les variables ne peuvent être que vraies ou fausses, il s’agit de déterminer s’il existe une combinaison qui la rende vraie. Chaque variable supplémentaire double les combinaisons possibles : **avec 100 variables, par exemple, il existe environ 1,27 quintillions de possibilités.**

Des méthodes existent pour éviter d’essayer toutes les combinaisons, mais l’hypothèse soutenait que, même dans le pire des cas, le temps de calcul continuerait à augmenter de façon exponentielle avec chaque variable ajoutée.

L’hypothèse du temps exponentiel est la conjecture informatique qui affirmait que certains problèmes logiques ne peuvent pas être résolus plus rapidement que de façon exponentielle dans le pire des cas ; sa réfutation éventuelle obligerait à réviser une grande partie des fondements théoriques qui validaient cette barrière de difficulté.

Selon OpenAI, son modèle a trouvé la réfutation le 16 octobre et, un jour plus tard, elle était déjà traduite en Lean, un langage permettant à une machine de vérifier chaque étape d'une démonstration mathématique. L'entreprise a également publié un algorithme capable de compter les solutions de ce type de formules plus rapidement que ce que l'hypothèse considérait possible.

La révision de ce résultat a été confiée à Russell Impagliazzo et Ramamohan Paturi, de l'Université de Californie à San Diego, deux des auteurs originaux de l'hypothèse il y a plus de deux décennies, ainsi qu'à Ryan Williams, chercheur au Massachusetts Institute of Technology (MIT).

L'avancée sur les ondes qui relie à la conjecture de Kakeya

Le deuxième résultat revendiqué par OpenAI est la démonstration de la conjecture du lissage local, formulée en 1991 par le mathématicien Christopher Sogge.

Cette conjecture étudie comment les ondes sont lissées lorsqu'elles sont moyennées dans le temps. L'entreprise affirme l'avoir prouvé dans toutes les dimensions, ce qui entraînerait avec elle deux autres conjectures célèbres de l'analyse harmonique : celle de restriction de Stein et celle de Kakeya.

La conjecture de Kakeya est née en 1917 comme un problème posé par le mathématicien japonais Soichi Kakeya, qui se demandait quelle était la plus petite surface sur laquelle on peut faire pivoter une aiguille. La réponse connue est que cette surface peut être aussi petite que l'on veut.

Une version plus moderne de la question affine le problème : si une figure capable d'accueillir l'aiguille dans toutes les directions peut ne pas occuper de volume, on peut se demander si elle remplit néanmoins toujours toutes les dimensions de l'espace dans lequel elle se trouve.

Hong Wang et Joshua Zahl avaient déjà démontré cette conjecture pour les espaces de trois dimensions l'année précédente, un travail qui a valu à Wang la médaille Fields en juillet.

OpenAI affirme avoir étendu désormais la solution à n'importe quel nombre de dimensions. Alex Iosevich, spécialiste de l'analyse harmonique à l'Université de Rochester, a qualifié la découverte de « développement historique » dans des déclarations recueillies par Al Jazeera.

Le lien avec la théorie de Yang-Mills et la physique des particules

La troisième découverte revendiquée par OpenAI appartient au domaine de la théorie quantique des champs. L'entreprise affirme avoir démontré qu'il existe, en quatre dimensions, la théorie de Yang-Mills pure, la chromodynamique quantique (qui décrit la force qui maintient les quarks unis à l'intérieur des protons et des neutrons) et la version la plus simple de la théorie de grande unification.

Prouver que la théorie de Yang-Mills existe équivaut à résoudre la moitié d’un autre des Problèmes du Millénaire. L’autre moitié correspond à ce qu’on appelle la « masse gap », qui expliquerait pourquoi la force nucléaire forte n’agit qu’à des distances minuscules.

Vérification de ce résultat confiée à un groupe dirigé par David Gross, prix Nobel de Physique en 2004 pour la découverte de la liberté asymptotique, propriété sur laquelle repose la démonstration. Parmi les membres de ce groupe figure Arthur Jaffe, qui rédigea avec Edward Witten l’énoncé officiel du problème.

Contrairement aux deux autres découvertes, ce troisième résultat n’a pas été rendu public. Le groupe de révision a choisi de ne pas diffuser le matériel pour le moment et de rédiger le résultat par ses propres moyens.